Problema tradicional
Una vaca y un caballo parten del mismo punto P en direcciones distintas y recorren caminos circulares que vuelven a converger en P. La vaca recorre una circunferencia de 48 km a una velocidad de 8 km/día, mientras que el caballo recorre una circunferencia de 32 km a 12 km/día. ¿Cuántos días tardarán en volver a encontrarse en P?
De los sudokus a los sangaku
Si levantas la mano, lector, al oír este tipo de enunciados, no estás solo. Para los amantes de las letras (como quien escribe estas líneas) los problemas aritméticos pueden provocar pesadillas, mientras que otros disfrutan jugando con los números. El gran auge de los sudokus en los últimos años es un ejemplo de cómo un pasatiempo de cálculo mental puede fascinar a muchos.
Aunque el sudoku no es una invención japonesa, fueron los japoneses quienes le dieron la forma definitiva y lo popularizaron mundialmente bajo ese nombre.
Los sangaku en la era samurái
Hace algunos siglos, resolver problemas matemáticos para pasar el tiempo no era nada nuevo. En el Japón del sol naciente, estos juegos tenían una larga tradición que se remonta a la época en que los samuráis caminaban por las calles con sus katanas al cinto. A mediados del siglo XVIII, entre las ofrendas votivas que los fieles colgaban en los portales de santuarios y templos, era habitual encontrar acertijos como el que encabeza este artículo:
¿Cuántos días tardarán la vaca y el caballo en reunirse después de haber partido del punto P?
¿Alguien se atreve a resolver el enigma? Para los menos hábiles en geometría, la solución aparece al final del texto.
Podría pensarse que estos acertijos se colgaban en los templos para invocar ayuda divina, ya que resolver semejantes problemas parecía requerir la intervención de dioses o budas. Sin embargo, la verdadera razón era mucho más sencilla: eran un hobby y un reto para mentes inquietas que buscaban pasar el tiempo.
¿Qué eran los sangaku?
Los japoneses de la época llamaban sangaku a estos rompecabezas matemáticos, término que significa “tablilla matemática”. Cada sangaku contenía dibujos cuidadosos que ilustraban los enunciados, pues la geometría tradicional japonesa combinaba arte y cálculo. Además de ejercitar la mente, servían como decoración.
Desgraciadamente, la mayoría estaban hechas de madera, por lo que pocos ejemplos han sobrevivido hasta hoy. Los que quedan nos permiten vislumbrar esta antigua tradición.
Contexto histórico
Durante el shogunato Tokugawa, el desarrollo de las matemáticas no estaba reservado al mundo académico. Tanto eruditos como gente común se dedicaban a la disciplina con entusiasmo. Así, los sangaku fueron obra de aficionados anónimos que, por amor al arte, los dejaban en la entrada de santuarios para que cualquier transeúnte pudiera intentar resolverlos.
Gran parte de los problemas se basan en el teorema de Pitágoras, conocido en Japón desde la época medieval gracias a la transmisión china. La mayoría pueden resolverse con ese teorema o mediante ecuaciones cuadráticas, aunque las tablillas rara vez explicaban el procedimiento, solo mostraban la respuesta final.
Se cree que los autores eran, en su mayoría, samuráis. Con el fin de las guerras civiles bajo el dominio Tokugawa, muchos samuráis cambiaron la espada por el ábaco, convirtiéndose en maestros que enseñaban a leer, escribir y hacer cálculos a los niños del pueblo. Aislados del mundo exterior y sin acceso a la literatura académica occidental, desarrollaron una matemática propia, distinta a la china y la europea, pero que llegaba a conclusiones similares. Los sangaku eran su forma de difundir descubrimientos sin necesidad de publicar tratados formales.
Duración de la tradición
El sangaku más antiguo que se conserva data de 1683, aunque existen referencias a estos paneles desde principios del siglo XVII. La costumbre decayó con la caída del shogunato Tokugawa a finales del siglo XIX, pero perduró de forma esporádica hasta la década de 1980.
Los millones de aficionados al sudoku en todo el mundo seguramente se sentirán orgullosos al saber que su pasatiempo favorito tiene raíces centenarias. Los sangaku demuestran que los japoneses llevan siglos inventando acertijos matemáticos, aunque para algunos pueda parecer una tortura disfrazada de círculos coloreados.
Solución del problema propuesto
Respuesta: 24 días.
Después de D días la vaca y el caballo vuelven a coincidir en P. La vaca avanza 8 km/día, por lo que 8 D = 48 M, donde M es el número de vueltas que da. El caballo avanza 12 km/día, así que 12 D = 32 N, siendo N sus vueltas. Dividiendo ambas ecuaciones obtenemos M/N = 4/9. El menor entero que satisface la proporción es M = 4 y N = 9, lo que lleva a D = 24 días.
Contribución de R. Ibarzabal – Samurai Stories
Fuentes: Sacred Mathematics, Fukagawa Hidetoshi y Tony Rothman; Sangaku.
